KÖKLÜ İFADELER

Üslü ifadelerde negatif veya pozitif reel sayıların tam sayı olan kuvvetlerini tanımlamıştık. Bir üslü ifadenin değerini bulmayı biliyoruz.

Örneğin;(-2)2=(-2).(-2)=4, (2)=2.2=4 tür.

Burada karesi 4 olan iki reel sayı vardır. Bunlardan negatif olanı (-2), pozitif olanı da (+2) dir. Bunun gibi karesi 9 olan sayılar (-3) ve (+3) tür. Fakat karesi -4 ve -3 olan reel sayı yoktur. Genelleyecek olursak; xR+ için karesi x olan biri negatif diğeri pozitif iki reel sayı vardır. Değeri ve üssü verilen üslü ifadelerin tabanını bulma işlemine kök alma işlemi denir.

TANIM:karesi aR+ e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir. Negatif karekök “-a”; pozitif karekök “a” ile gösterilir. Yani(a)2=(-a)2=a dır.
Örneğin; x2=16 nın pozitif karekökü x=16=4, negatif karekökü x=-16=-4
(a)2=a2 ifadesi bazen “a” ya eşit değildir. Örneğin;
a2 ifadesi daima pozitiftir. a20 olur.
4=2 nin doğru olduğuna, 4=-2 nin yanlış olduğuna dikkat ediniz.

Teorem:bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir.
xR için x2=x tir.

İspat;
1. x0 için xve x2 =x tir. o halde, x2 =xolur.
2. x0 için x=-x ve x2 =-x tir. (-x0) o halde, x2 =xolur.

Örnek: x<2 ise x2 -4x+4 ifadesi neye eşittir?
Çözüm: x2 -4x+4 = (x-2)2 = x-2(x2 =x)
X<2 ise x-2<0 olur. Bu durumda, x-2=-(x-2)=-x+2 bulunur.
Örnek: x<0<y ise x2+y2-(x-y)2 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: x2 = x, y2 =y ve (x-y)2 =x-y dir.
X<0 x=-x
Y<0 y=y
X<y  x-y<0  x-y=-(x-y)=-x+y dir.
Öyleyse, x2+y2-(x-y)2 =x+y-x-y=-x+y+x-y=0 bulunur.
Örnek: 3<x<4 ise x2-8x+16 +x2-6x+9 -3-xişleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: x2-8x+16 =(x-4)2 =x-4, x2-6x+9 =(x-3)2 =x-3 tür.
X<4  x-4<0 olup x-4=-x+4 ve
x>3  x-3>0 olup x-3=x-3 olur.
x>3  3-x=-3+x tir.
x2-8x+16 +x2-6x+9 -3-x=x-4+x-3-3-x=-x+4+x-3-(-3+x)
=1+3-x=4-x bulunur.




KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ


Kareköklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için kök içindeki terimler benzer olmalıdır. Benzer olan terimlerin kat sayıların toplamı veya farkı, o terimlere kat sayı olarak yazılır.

ab -cb +db =b(a-c+d) olur.

Örnekler:

1. 33-43+73=(3-4+7).3
2. 75 -248 -327 =225.3 -216.3 -39.3 =2.53 -2.43 -3.33
=103 -83 -93 =(10-8-9)3 =-73
3. 5/3+25-35/2 =(1/3+2-3/2)5 =(2+12-9/6)5 =5/65

EŞLENİK İFADELERİN ÇARPIMI

a,bR+ için
1. a nın eşleniği a dır.
2. a +b nin eşleniği a-b dir.

Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir. Eşlenik iki ifadenin çarpımı, birinci terimin karesinden ikinci terimin karesinin farkına eşittir. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılırsa,

(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a-ab +ab –b=a-b olur.

Örnek:

1. (5 -23)(5 +23)= 5(5 +23)-23(5 +23)=5+215 -215 -4.3=-7
2. (4+27)(4-27)=42-(27)2=16-28=-12
3. (x+5)(x-5)=(x2)-( 5)2=x2-5 olur.


PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapmak için paydanın eşleniği ile pay ve paydayı çarparız.

Örnek:
1. 3/3=3. 3/3. 3=33/32=3
2. 1/5-3=1.( 5+3)/ (5-3)( 5+3)= 5+3/(5)2-(3)2=5+3/5-3=5+3/2
3. 7/22-1=7(22+1)/(22-1)(22+1)=7(22+1/(22)2-(1)2=7(22+1)/8-1=7(22+1)/7
=22+1


KAREKÖKLÜ BİR İFADENİN SADELEŞTİRİLMESİ


Örnek: (a3)6.( a-3)4 ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm: a-3=1/a3 yazılabileceğini biliyoruz.(x-n=1/xn kuralına göre)
(a3)6.( 1/a3)4=a18. 1/a12=a18.1/a12=a6=(a3)2 =a3 bulunur.

Örnek: ab-3c-2 . ab5c3 ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm: ab-3c-2 . ab5c3 =a2b5c3/b3c2 =a2b2c =ab.c bulunur.

KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN ÇARPIMI

a 0 ve b>0 olmak üzere a,b  R için a.b=a.b dir.
Kareköklü iki terimin çarpımı, bu terimlerin çarpımının kareköküne eşittir.

Örnek:
1. 3. 5 =3.5 =15
2. 23. 32 =(2.3). 3.2 =66
3. 3. 6. 2 =3.6.2 =36 =6


KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN BÖLÜMÜ

a 0 ve b>0 olmak üzere a,b  R için a/b =A/B dir.
Kareköklü iki terimin bölümü, bu terimlerin bölümünün kareköküne eşittir.

Örnek:
1. 60 /15 =60/15 =4 =2
2. x7/x5=x7/x5 =x2 =x
3. 21/7 =21/7=3


KAREKÖKLÜ BİR TERİMİN n. KUVVETİ

Kareköklü bir terimin “n.” Kuvveti bulunurken, verilen ifadenin karekökü alınarak terimin “n.” Kuvveti bulunur ve ele edilen terimin karekökü alınır.
xR+ ve n Z+ olmak üzere, (x)n=xn ir.

İspat: xR+, nZ+ için x in “n.” Kuvveti,
(x)n=x. x. x…x=x.x.x…x =xn olur.

Örnek:
1. (5)4=54=(52)2=52=25
2. (3)3.( 6)5=33 . 65 =33(2.3)5 . 33.25.35 =38.25
=(34)2.(22)2.2=34.22. 2 =3242
3. (1/2)-4=1/2-4 =24 =(22)2 =22 =4


REEL SAYILARIN RASYONEL KUVVETİ

Tanım: a0 reel sayısı verilsin. n Z+ için xn=a olacak şekilde bir xR+ sayısı varır.
Bu sayıyı a nın “n.” Kuvvetten kökü denir ve xn =a  x=na biçimine gösterilir.

x2=m eşitliğini gerçekleyen x=m değerine, karekök m,
x3=m eşitliğini gerçekleyen x=3m değerine, küpkök m,
x4=m eşitliğini gerçekleyen x=4m değerine, 4. dereceden kök m denir.

Şimdide ncam biçimindeki bir ifadeyi üslü şekle yazalım. m=k.n alalım:

ncam =nan.k =n(ak)n =ak dır.

m=k.n k=m/n dir. ak da k yerine m/n yazalım. ak =cam/n bulunur. O halde, ncam=cam/n dir.

örnek:
1. x =x1/2
2. 3x2 =x2/3
3. 4(x+y)3 =(x+y)3/4

köklü bir terimi üslü biçimde yazarken, terimin üssü pay, kökün derecesi payda alınarak elde edilen rasyonel sayı verilen terime üs olarak yazılır.

xn=a denkleminde n tek doğal sayı ise çözüm kümesi: x=na dir.
xn=a denkleminde n çift doğal sayı ise çözüm kümesi: x=na dır.

öyleyse, x=na ifaesi,

1. n tek doğal sayı ve x reel sayıdır.
2. n çift doğal sayı ve a0 ise x reel sayıdır.
3. n çift doğal sayı ve a<0 ise x reel sayı değildir.

7-128, 3-27, 5-1 sayıları reel sayıdır.
25, 416, 48 sayıları reel sayılardır.
-1, -4, -9 sayıları reel sayı değildir.

KÖKLÜ BİR TERİMİN KUVVETİ

na gibi köklü bir terimin “m.” Kuvveti, (na)m = na.na.na…na = na.a.a…a =ncam olur.
Öyleyse, (na)m = ncam dir.

Örnek:
1. (3x.y)2 =3(x.y)2 =3x2.y2
2. (3a)4=3a4 =3a3.a=a3a (nan.b=anb dir. )
3. (54)3 =543=5(22)3 =526=525.2 =252


KÖKLÜ BİR TERİMİN KÖKÜ

Bir terimin “m.” Kuvvetten kökünün tekrar “n.” Kuvvetten kökü, bu terimin (m.n) inci kuvvetten köküne eşittir. nx in tekrar “m.” Kuvvetten kökü: mnx =m.nx dir. Bu eşitliğin doğruluğunu gösterelim:

mnx=(nx)1/m =nx1/m =(x1/m)1/n =x1/m.n =m.nx olur.

Öyleyse, mnx =m.nx tir.

Örnekler:
1. 34a3 =34.2a3 =38a3 =24a3 =8a
2. 455352 =4.2.3(52)3.53.52 =2456.53.52 =24511 bulunur.


KÖKLÜ İFAELERİN ÇARPILMASI

Kök kuvvetleri aynı olan ifadelerin çarpımı, bu ifadelerin çarpımının aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b R+ ve n N+ ise na.nb =na.b dir.
İspat: na.nb =na.b dir. eşleniğinin her iki yanının n. Kuvvetini alalım.
(na.nb)n =(na.b)n (na)n.(nb)n =a.b ve (na.b)n =nan.bn =a.b dir.

Örnek: 32a. 34a2 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: 32a.34a2 =32a.4a2 =38a3 =323a3 =3(2a)3=2a dır.

Teorem: x,y R+, m,n,k Z+ olmak üzere 1. nxm =n.kxm.k 2. nxm=n/kxm/k
3.mx.ny=m.nxn.m.nym=m.nxn.ym 4. mx/ny=m.nxn/m.nym=m.nxn/ym dir.

kök kuvvetleri farklı olan köklü ifadeleri çarpmak için önce kök kuvvetleri eşitlenir sonra çarpma işlemi yapılır.

KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİ

Kök kuvvetleri aynı olan köklü iki ifadenin bölümü, bu ifadenin bölümlerinin aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b R+ ve nN+ ise na/nb =na/b ir.
İspat: her iki tarafın n. Kuvvetten kökünü alalım:
(na/nb)n =(na/b)n  (na)n/(na)n =a/b a/b=a/b dir.

örnek:
1. 18a5/2a3 =18a5/2a3 =9a2 =3a dır.
2. 354a4b5/32ab2 =354a4b5/2ab2 =327a3b3 =3ab dir.

tesekurler anlamamda yardımcı olugun ıcın saol

Only registred user can see link on this forum! Registred or Login on forum!

Only registred user can see link on this forum! Registred or Login on forum!

Only registred user can see link on this forum! Registred or Login on forum!

Only registred user can see link on this forum! Registred or Login on forum!

Only registred user can see link on this forum! Registred or Login on forum!